A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu conceptor, Joseph-Louis Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que combina a conservação do momento linear com a conservação da energia. Exposta pela primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de um potente ferramental matemático equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como por exemplo, o formalismo newtoniano.

Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeiro tipo, que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange; e as equações de Lagrange de segundo tipo, que incorporam as restrições diretamente na escolha das coordenadas generalizadas. O lema fundamental do cálculo das variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza a funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de Lagrange ${\displaystyle L\,\!}$ no tempo.

Dado um conjunto de coordenadas generalizadas ${\displaystyle q=\{q_{i}\}\,\!}$ para descrever o sistema físico estudado, a lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais ${\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q_{i}}},t)\,\!}$, em que ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}},\,\!}$ que são as velocidades generalizadas.

Pelo Princípio de Hamilton, que nos diz que o trajeto real da partícula, entre os instantes ${\displaystyle t_{i}\,\!}$ e ${\displaystyle t_{f}\,\!}$ é aquele que minimiza a ação ${\displaystyle S\equiv \int _{t_{i}}^{t_{f}}L(q_{i},{\dot {q_{i}}},t)dt\,\!}$ . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos as equações de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=0,\,\!}$

que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em ${\displaystyle t\,\!}$.

No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=Q_{i}^{ext}\,\!}$

em que ${\displaystyle Q_{i}^{ext}=\sum _{j}^{N}{\vec {F}}_{j}^{ext}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{j}}{\partial q_{i}}}}$ são as forças generalizadas externas.

A mecânica lagrangiana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. Com isso, ela é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.